문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수적 정수론 (문단 편집) == 개요 == {{{+1 [[代]][[數]][[的]][[整]][[數]][[論]] / Algebraic number Theory}}} [[정수론]]을 연구하는 데에 광범위한 [[대수학]]의 방법들을 사용하는 분야이다. 정수론의 핵심 주제가 [[방정식]]의 정수해를 찾는 것이므로, 방정식의 성질을 연구하는 대수학이 끼어들 자리가 없다면 이상할 것이다. 다만 대수학이라는 것이 생각보다 골때리는 학문이니만큼,[* 물론 대수적 정수론에 사용되는 학부/대학원 수준에서] [[해석적 정수론]]에 비해 일반인이 접하기는 훨씬 힘들다. 약간 더 자세히 말하자면, 대수적 정수론은 방정식의 대수적 해를 이용한 대수적 확장(algebraic extension) 위에서의 정수의 성질을 탐구한다고 할 수 있다. 마치 고차방정식을 풀 때 [[복소수]]를 도입해서 해를 찾듯이, 정수집합에 방정식의 해들을 추가시켜 이들의 성질을 관찰하는 것. 예를 들어서, [[페르마의 마지막 정리]](Fermat's Last Theorem, 이하 FLT) 중 지수가 3인 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(x^3 + y^3 = z^3)]}}} 이 식은 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})]]] [* 혹은 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 근. 고등학교에서 흔히 오메가라고 하는 그거다.]을 동원해 다음과 같이 인수분해된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)]}}} 여기서의 [math(x, y, z)]는 모두 정수이므로, 인수 [math(x+y,\,x+\omega y,\,x+{\omega}^2 y)] 들은 모두 [[정수]]집합 Z에 [math( \omega )]를 추가한 [[아이젠슈타인 정수]](Eisenstein Integer)라 불리는 다음 집합 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( Z\left[\omega\right] = \left\{a+b \omega : a, b\right.)]는 정수[math(\left.\right\})]}}} 의 원소이다. 따라서 정수의 성질들을 모조리 끌어와 이 아이젠슈타인 정수에서 정수론을 펼치면 FLT 중 n=3인 경우를 공략할 수 있는 것이다. [[레온하르트 오일러]]가 이 방법을 생각해 낸 후, 사람들은 수많은 디오판토스 방정식들이 사실은 이러한 류의 집합 - __대수적 정수__(algebraic integer) - 위에서의 정수론 문제라는 것을 알게 되었다. 하지만 대수적 정수들을 다루는 것은 처음 생각보다는 복잡했는데, 정수의 모든 좋은 성질이 다 옮겨오지는 않았기 때문이다. 그 대표적인 예로 [[소인수분해]]가 유일하지 않은 것이 있는데, 이는 대수적 정수 [math( \mathbb{Z}\left[ \sqrt {-5} \right] )] 위에서 [math(6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) )]처럼 두 가지 서로 다른 분해가 존재하기 때문이다. 이는 많은 상황에서 예기치 못한 장애물이 되었다. 후에 수학자 라메(Gabriel Lame)가 지수가 일반적 홀수 [[소수(수론)|소수]]일 때[* FLT는 지수가 소수와 4일 때만 증명하면 충분함을 알 수 있다.], 위의 n=3인 경우와 비슷한 논리를 펼쳐 [[ZZ(죠죠의 기묘한 모험)|'이겼다! FLT 끝!']] 을 외쳤지만, 아쉽게도 이 문제를 생각하지 않은 바람에 오류가 났었던 것. 이것을 해결하기 위해 쿰머(Ernst Kummer)가 '배수의 일반화'라고 볼 수 있는 __아이디얼__(ideal)의 개념을 창안했고,[* 현대[[대수학]]의 그 아이디얼 맞다. 학부 대수학을 배웠어도 이러한 배경을 보통 모르는 것이 사실.][* 아이디얼을 엄밀히 정의한 것은 보다 나중의 데데킨트(Richard Dedekind)의 업적이긴 하다.][* 아이디얼의 어원은 플라톤의 그 이데아 이론이 맞다. 쿰머가 이를 정의할 때 "이상적 수"(獨 ideale Zahl 英 ideal number 韓 이상수)라고 칭했고 후에 '수'(Zahl) 부분이 떨어진 것.] 이를 활용하여 소위 말하는 '정규소수'(regular prime)인 경우의 증명을 완성하긴 했지만, FLT의 해결과는 거리가 멀었다. 대수학이 제대로 정립된 힐베르트(David Hilbert) 이후 대수적 정수론은 다시 다른 국면을 맞게 된다. 현대수학자들은 대수학 외에도 [[대수기하학]]과 [[표현론]] 등 정신줄 놓는 수학들을 자유자재로 사용하여, 방정식의 정수해에 대해 모든 것을 밝혀 낼 기세로 전진했다. 예로 1983년에 팔팅스(Gerd Faltings)가 증명한 모델의 가설(Mordell's conjecture)은 '변수가 2개인 [math(F\left(x,y\right) = 0)] 꼴의 대부분의 방정식은 유한한 [[유리수]]해를 가진다'는 어마어마한 내용을 말하고 있다.[* 물론 여기서 '대부분의'가 뭔지 정의하기는 정말 어려우므로 생략하도록 한다. 여담으로, FLT의 방정식들은 이 '대부분의' 방정식에 들어가므로, 팔팅스의 정리는 FLT의 해가 유한하다는 것을 말해준다.] 20세기의 정수론은 이러한 것들과 더불어 조화해석학에서 온 모듈러 형식(modular form), [[타원곡선]], [[해석적 정수론]]의 L-함수, 이 모든 것이 합쳐진 [[모듈러성 정리]]의 증명 - 즉 FLT의 증명! - 으로 정상을 찍었다고 할 수 있겠다. 물론 그 뒤에 랭글랜즈 프로그램 같은 정말이지 말도 안되는 숙제들을 남겨놓기는 했지만. ~~이게 대수적 정수론 얘기야 FLT 얘기야~~ 여담으로, 위에서 보듯이 [[페르마의 마지막 정리]]가 대수적 정수론의 발전에 상당한 영향을 주었다는 것을 알 수 있다. ~~그건 핑계고 다른 내용들은 더 어려우니까(...) 이 얘기만 한거다~~ ~~아니 그럼 얼마나 어렵다는 거야~~저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기